Скалярное произведение в координатах свойства скалярного произведения. Скалярное произведение векторов

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В КООРДИНАТАХ. СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ – СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Цель деятельности учителя

Создать условия для доказательства теоремы о скалярном произведении двух векторов в координатах и ее следствий

Термины и понятия

Косинус, угол между векторами, скалярное произведение, скалярный квадрат

Универсальные учебные действия

Владеют базовым понятийным аппаратом по основным разделам содержания

Познавательные: понимают и используют математические средства наглядности для иллюстрации, интерпретации, аргументации; осознанно владеют логическими действиями определения понятий, обобщения, установления аналогий.

Регулятивные: понимают и сохраняют учебные задачи.

Коммуникативные: участвуют в диалоге.

Личностные: проявляют креативность мышления, инициативность, находчивость, активность при решении геометрических задач

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

• Задания для проверочной работы

I этап. Актуализация опорных знаний учащихся

Проверить уровень сформированности теоретических знаний

1. Обсуждение вопросов учащихся по домашнему заданию.

2. Проверочная работа на 10 минут.

1. Известно, что где – координатные векторы. Выпишите координаты вектора .

2. Дан вектор Запишите разложение вектора по координатным векторам .

3. Даны векторы Найдите координаты суммы векторов.

4. Найдите координаты вектора если

5. Даны векторы Найдите координаты вектора

6. Две стороны треугольника равны 7 и 3 см, а угол между ними равен 120°. Найдите третью сторону треугольника.

7. В треугольнике АВС угол А = 45°, АВ = 2, АС = 3. Вычислите

8. Скалярное произведение ненулевых векторов и равно нулю. Чему равен угол между векторами ?

1. Дан вектор Запишите разложение вектора по координатным векторам .

2. Известно, что где – координатные векторы. Выпишите координаты вектора

3. Найдите координаты вектора если

4. Даны векторы Найдите координаты разности этих векторов.

5. Даны векторы Найдите координаты вектора

6. В треугольнике MPQ угол ∠M = 135°, МР = 5, MQ = 2√2. Вычислите .

7. Две стороны треугольника равны 3 и 9 м, а угол между ними равен 60°. Найдите третью сторону треугольника.

8. Чему равно скалярное произведение координатных векторов?

Скалярное произведение векторов

Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами

Формула скалярного произведения векторов для плоских задач

В случае плоской задачи скалярное произведение векторов a = < a_x ; a_y > и b = < b_x ; b_y > можно найти воспользовавшись следующей формулой:

Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач

В случае пространственной задачи скалярное произведение векторов a = < a_x ; a_y ; a_z > и b = < b_x ; b_y ; b_z > можно найти воспользовавшись следующей формулой:

Формула скалярного произведения n -мерных векторов

В случае n -мерного пространства скалярное произведение векторов a = < a ₁ ; a ₂ ; . ; a_n > и b = < b ₁ ; b ₂ ; . ; b_n > можно найти воспользовавшись следующей формулой:

Свойства скалярного произведения векторов

Примеры задач на вычисление скалярного произведения векторов

Примеры вычисления скалярного произведения векторов для плоских задач

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.

Решение: a · b = | a | · | b | cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.

p · q = ( a + 3 b ) · (5 a – 3 b ) = 5 a · a – 3 a · b + 15 b · a – 9 b · b =

= 5 | a | 2 + 12 a · b – 9 | b | 2 = 5 · 3 2 + 12 · 3 · 2 · cos 60˚ – 9 · 2 2 = 45 +36 -36 = 45.

Решение: Запишем вектора a и b через ортонормированные базисные вектора i и j :

Тогда используя свойства ортов ( i 2 = 1, j 2 = 1, i · j = 0)

( a + 2 i )·( b – 2 j ) = ( i + 2 j + 2 i )·(4 i – 8 j – 2 j ) = (3 i + 2 j )·(4 i – 10 j ) = 12 i 2 – 30 i · j + 12 j · i – 20 j 2 = 12 – 0 + 0 – 20 = -8

Пример вычисления скалярного произведения векторов для пространственных задач

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 – 5 = 15.

Пример вычисления скалярного произведения для n -мерных векторов

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 – 5 -4 = 11.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Скалярное произведение векторов в координатах. Свойство скалярного произведения векторов.

Курс повышения квалификации за 340 рублей!

Эмоциональное выгорание педагогов. Профилактика и способы преодоления

Бурковская Нина Дмитриевна

Уральский технологический колледж «Сервис »

Тема урока: Скалярное произведение векторов в координатах. Свойство скалярного произведения векторов.

Цель урока: Сформировать у обучающихся следующие знания:

определение скалярного произведения векторов;

свойства скалярного произведения (случаи нулевого, острого, прямого, тупого, развёрнутого углов между векторами);

определение скалярного квадрата вектора;

формула для вычисления скалярного произведения векторов через их координаты.

Сформировать умения: применение свойств скалярного произведения для решения задач;

Тип урока: Изучение новой темы, формирование зун.

Методы ведения : лекция

Оборудование урока презентация

Организационный момент – 1 – 2 мин.

II . Опрос по домашнему заданию

2. Сложение векторов;

3. Вычитание векторов;

4. Умножение вектора на число.

III . Объяснение нового материала. Краткий конспект.

Определение: Скалярным произведением 2-х ненулевых векторов называется число равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними

Обозначается , т.е. если φ – угол между векторами, то

Свойства скалярного произведения:

1 0 .

2 0 .

3 0 .

4 0 .

Пусть векторы и заданы своими координатами , . Тогда скалярное произведение этих векторов находится по формуле:

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности 2-х ненулевых векторов и :

Зная скалярное произведение 2-х векторов , можно найти угол между ними: IV . Закрепление нового материала:

Будет ли вектор перпендикулярен вектору ?

Найдём скалярное произведение этих векторов:

Так как скалярное произведение не равно нулю, то вектора не перпендикулярны.

Заданы 2 вектора своими координатами

(-4;3;0), (3;-4;1). Найти косинус угла между ними.

Ответ:

Задание на дом §27 №212

Ж. Кайдасов, В. Гусев, А Кагазбаева Геометрия 10, 11 классы. Дидактический материал по геометрии для 10, 11 классов.

Источники:

http://compendium.su/mathematics/9klass/30.html
http://ru.onlinemschool.com/math/library/vector/multiply/
http://infourok.ru/skalyarnoe-proizvedenie-vektorov-v-koordinatah-svoystvo-skalyarnogo-proizvedeniya-vektorov-1601956.html