Рисунки эшера выполненные во фронтальной перспективе. Мауриц Эшер или «невозможное – возможно
От фрактала до рекурсии: краткий гид по миру М.К.Эшера
В Музее современного искусства на Петровке проходит большая ретроспектива Маурица Корнелиса Эшера, самого известного в мире создателя оптических иллюзий. «Воздух» составил микроучебник по творчеству Эшера.
Эшер и Италия
М.К.Эшер. «Пинета Кальви», Корсика, 1933
Эшер прославился своими оптическими иллюзиями и математически выстроенными рисунками. Куда менее известна его страсть к итальянским пейзажам — результат путешествия по Италии в 1922 году. Между тем эти пейзажи в его творчестве занимают довольно важное место (что по московской выставке очень заметно): с 1922-го по 1935-й Эшер создал множество гравюр с изображениями интерьеров восхищавших его церквей (например, «Внутри Св. Петра» 1935 года) и панорамных видов городов, а также итальянской природы и разных достопримечательностей. Природа Италии для него была неотделима от искусства Возрождения: строгие пропорции ренессансных зданий и важное место геометрии в творчестве художников Ренессанса явственно повлияли на все его последующее творчество. Кроме того, Эшер был сильно впечатлен мумифицированными останками священников на Сицилии и запечатлел их в очень реалистичной литографии. Позже он пытался создавать пейзажи в Голландии и Швейцарии, но разочаровался в местной природе и оставил это занятие.
Эшер и мавританский стиль
М.К.Эшер. «Предел круга IV», 1960
Еще в 1930-е годы Эшер посетил памятники мавританского искусства в Испании, в том числе Альгамбру, где его поразили знаменитые геометрические орнаменты. Орнаменты и вообще геометрические композиции для художников Востока были едва ли не главным способом самовыражения — ислам запрещает изображать людей, а самыми денежными стройками, как правило, были мечети. К тому же математика была любимой наукой исламского Средневековья.
Эшер и кристаллография
М.К.Эшер. «День и ночь», 1938
В основе многих известных рисунков Эшера лежит принцип симметрии — тот же самый, что положен в основу науки о кристаллах. Эшер не был ученым — его прежде интересовала эстетическая сторона симметрии, поэтому он развлекал и себя, и зрителя, заставляя симметрично кружить по поверхности ящерок, птиц, кошек, даже демонов и ангелов. Однако наукой он увлекался довольно серьезно — и в 1960 году по приглашению химика и кристаллографа Каролины МакГиллаври Эшер даже выступал с лекцией о симметрии на международной кристаллографической конференции в Кембридже.
Эшер и геометрия
М.К.Эшер. «Гравитация», 1952
Под впечатлением от мавританских орнаментов Альгамбры Эшер начал делать наброски с использованием разных кристаллических решеток. К этим наброскам он потом добавлял фигуры животных и создавал листы, мозаически заполненные разноцветными фигурами ящеров или птиц. Другие характерные приемы Эшера — переходы из двухмерного в трехмерное пространство и изображения сложных многогранников (типичный пример — работа «Гравитация»).
Эшер и математика
М.К.Эшер. «Меньше и меньше», 1956
О том, насколько творчество Эшера близко ученым-математиками, говорит тот факт, что во время XII Всемирного математического конгресса в Амстердаме в 1954 году была открыта выставка работ Эшера. Математикой он никогда специально не занимался, хотя прочитал исследование венгерского математика Дьёрдя Пойа о группах симметрии, которое ему прислал брат. Из этой работы он почерпнул знание о том, что существует 17 «групп рисунка обоев». Это специальное название для существующих в природе видов двухмерных повторяющихся паттернов, позволяющих без разрывов заполнить плоскость фигурами одного вида так, чтобы получилась мозаика или пазл. Эшер часто использовал принцип мозаичного замещения плоскости, например в орнаментах 1950-х годов. Математика описывает, какими фигурами можно замостить плоскость регулярно (тремя правильными многоугольниками: треугольником, квадратом и шестиугольником), но Эшер пошел дальше — его интересовала нерегулярная мозаика, состоящая из разных по форме фигур. Кроме того, Эшер стал изображать в своих мозаичных картинах фракталы (фигуры, состоящие из собственных маленьких подобий) еще до того, как математический термин «фрактал» был введен в употребление в 1975 году.
Эшер и неевклидово пространство
М.К.Эшер. «Картинная галерея», 1956
Самые знаменитые работы Эшера построены как визуальные обманки, но по сути являются визуальным воплощением неевклидова пространства — то есть такого пространства, в котором параллельные прямые спокойно могут пересекаться. Эшер не доказывал теорем с помощью своих рисунков, просто демонстрировал удивительные возможности нашего восприятия. Эти поиски, надо сказать, были вполне в русле авангардного искусства. Один из интересных примеров проявления неевклидовой геометрии в работах Эшера — «Картинная галерея». Здесь переплетаются два пространства — галереи и картины, которая висит в галерее. Так как перспектива построена по незнакомому нам принципу, сразу разобраться в происходящем непросто. Но постепенно мы понимаем, что видим ситуацию одновременно с нескольких сторон — мужчина в картинной галерее смотрит на картину, мы смотрим на него, а женщина, изображенная на картине, — на мужчину из галереи. Это немного напоминает поиски кубистов, которые отказывались от реалистичности в поисках широты взгляда. Еще один пример неевклидового пространства в работах Эшера — гравюра «Относительность».
Эшер и оптические иллюзии
М.К.Эшер. «Вавилонская башня», 1958
Уже в самых ранних своих работах Эшер экспериментировал с перспективой как способом изменить взгляд зрителя на картину. Этими экспериментами он отчасти обязан опыту искусства Возрождения — ведь так называемая прямая перспектива, которая была взята за основу ренессансной живописи, — это, в общем, точно такая же условность, как и «обратная перспектива», используемая в византийской иконописи. Идеальные пропорции — не меньшая иллюзия, чем искажение пространства, это Эшер хорошо понимал. Он начал создавать картины со сложной перспективой во время путешествий по Италии — когда выполнил работу под названием «Вавилонская башня».
Эшер и рекурсия
М.К.Эшер. «Относительность», 1953
Рекурсией называют такое явление, при котором объект повторяет сам себя, иногда — бесконечно. Эшер много раз использовал рекурсивный метод в разных формах.
Эшер и дизайн
М.К.Эшер. «Метаморфоза III», 1968
Эшер никогда не отказывался от возможности подзаработать, тем более что его семье, судя по сохранившимся свидетельствам, постоянно не хватало на жизнь. Эшер много работал с Королевской почтой Нидерландов, делая все что угодно — от дизайна поздравительных открыток и почтовых марок до 50-метрового панно «Метаморфоза III», в котором наглядно продемонстрированы различные приемы мозаичного замощения пространства в сочетании с оптическими иллюзиями. В «Метаморфозе» геометрические фигуры плавно перетекают в изображения птиц, животных и архитектурных форм, чтобы потом закольцеваться и вернуться к первоначальному рисунку. Эшер также создавал узоры для оберточной бумаги магазинов De Bijenkorf. Несмотря на то что дизайн не был основным делом его жизни, Эшер оказал серьезнейшее влияние на последующие поколения промышленных художников и дизайнеров, особенно на приверженцев психоделического искусства.
Эшер и имп-арт
М.К.Эшер. «Водопад», 1961
Имп-арт — это направление в искусстве, нацеленное на изображение невозможных с точки зрения геометрии фигур. Например, английский ученый Роджер Пенроуз создал сразу несколько таких фигур, самые известные из которых — треугольник Пенроуза и лестница Пенроуза. Все «невозможные» картины были созданы Эшером с 1958 по 1961 год — вскоре после того, как эти фигуры были описаны Пенроузом. Эшер применил находки Пенроуза в гравюрах наряду с обычными, евклидовыми многогранниками. Самые яркие примеры невозможных фигур у Эшера — в литографии «Водопад» и в гравюре «Спускаясь и поднимаясь». В «Водопаде» создана модель вечного двигателя, основанная на «невозможном треугольнике», а «Спускаясь и поднимаясь» — это художественная модель «невозможной лестницы», по которой движение в одну сторону будет бесконечным спуском, а движение в другую сторону — бесконечным подъемом. Секрет «невозможных» фигур заключается в ракурсе, с которого на них смотрят, — что было особенно увлекательно для Эшера, в совершенстве овладевшего различными видами перспектив и их искривлений.
Математическое искусство М.К. Эшера
Голландский художник Мориц Корнилис Эшер, родившийся в 1898 году в Леувардене создал уникальные и очаровательные работы, в которых использованы или показаны широкий круг математических идей.
Когда он учился в школе, родители планировали, что он станет архитектором, но плохое здоровье не позволило Морицу закончить образование, и он стал художником. До начала 50-х годов он не был широко известен, но после ряда выставок и статей в американских журналах (Time и др.) он получает мировую известность. Среди его восторженных поклонников были и математики, которые видели в его работах оригинальную визуальную интерпретацию некоторых математических законов. Это более интересно тем, что сам Эшер не имел специального математического образования.
В процессе своей работы он черпал идеи из математических статьей, в которых рассказывалось о мозаичном разбиении плоскости, проецировании трехмерных фигур на плоскость и неевклидовой геометрии, о чем будет рассказываться ниже. Он был очарован всевозможными парадоксами и в том числе “невозможными фигурами”. Парадоксальные идеи Роджера Пенроуза были использованы во многих работах Эшера. Наиболее интересными для изучения идеями Эшера являются всевозможные разбиения плоскости и логика трехмерного пространства.
Мозаики
Регулярное разбиение плоскости, называемое “мозаикой” – это набор замкнутых фигур, которыми можно замостить плоскость без пересечений фигур и щелей между ними. Обычно в качестве фигуры для составления мозаики используют простые многоугольники, например, квадраты или прямоугольники. Но Эшер интересовался всеми видами мозаик – регулярными и нерегулярными (прим. перев. нерегулярные мозаики образуют неповоряющиеся узоры) – а также ввел собственный вид, который назвал “метаморфозами”, где фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму плоскость.
Интересоваться мозаиками Эшер начал в 1936 году во время путешествия по Испании. Он провел много времени в Альгамбре, зарисовывая арабские мозаики, и впоследствии сказал, что это было для него “богатейшим источником вдохновения”. Позже в 1957 году в своем эссе о мозаиках Эшер написал:
В математических работах регулярное разбиение плоскости рассматривается теоретически. Значит ли это, что данный вопрос является сугубо математическим? Математики открыли дверь ведущую в другой мир, но сами войти в этот мир не решились. Их больше интересует путь, на котором стоит дверь, чем сад, лежащий за ней.
Математики доказали, что для регулярного разбиения плоскости подходят только три правильных многоугольника: треугольник, квадрат и шестиугольник. (Нерегулярных вариантов разбиения плоскости гораздо больше. В частности в мозаиках иногда используются нерегулярные мозаики, в основу которых положен правильный пятиугольник.) Эшер использовал базовые образцы мозаик, применяя к ним трансформации, которые в геометрии называются симметрией, отражение, смещение и др. Также он исказил базовые фигуры, превратив их в животных, птиц, ящериц и проч. Эти искаженные образцы мозаик имели трех-, четырех- и шестинаправленную симметрию, таким образом сохраняя свойство заполнения плоскости без перекрытий и щелей.
Рисунки эшера выполненные во фронтальной перспективе. Мауриц Эшер или «невозможное – возможно
Введение
В 2014 году мне посчастливилось побывать в чинной и благородной королевской Гааге.
Очень сильное впечатление на меня произвело посещение музея Эшера, который был открыт в 2002 году.
С удивлением и восхищением я рассматривала его литографии и гравюры, где пространство вывернуто наизнанку, где люди поднимаются по лестницам, ведущим вниз, а вода, стекающая с мельничного колеса, течет вверх. Они как бы уносят нас в мир оптических иллюзий и метаморфоз. Играя с воображением зрителя, художник в каждой гравюре создает собственный мир невозможного, в котором возможно всё.
Один из этажей в музее отведен под игры с пространством. Обман зрения, разный облик одинаковых по размеру предметов. Посетители оказываются в мире, где иллюзия реальней действительности. А на последнем этаже музея расположилась интерактивная выставка “Смотри, как Эшер”. Это настоящий волшебный мир иллюзий. В магическом шаре появляются и исчезают миры, стены двигаются и изменяются, а дети выглядят выше родителей. Чуть дальше находится необычный пол, который оптически проваливается под каждым шагом, а в серебряном шаре можно увидеть себя глазами Эшера.
Цель работы: показать красоту и логику математических форм в творчестве М. К. Эшера.
Гипотеза: творчество Эшера тесно связано с геометрией как на плоскости, так и в пространстве, что придает его работам фантастичность и необычность.Задачи исследования:
1. Изучить творчество М. К. Эшера.
2. Определить роль геометрии в его творчестве.
3. Показать влияние работ Эшера на развитие математики в XX веке.
4. Показать связь между математикой, информатикой и изобразительным искусством.
Основная часть.
Биография М.К. Эшера
Морис Корнелиус Эшер – нидерландский художник-график, родился 17 июня 1898 года в Леевардене, административном центре голландской провинции Фрисландия.
С детства увлекался рисованием, а в юности познакомился с технологией формирования печатного рисунка. В 1921 году семья Эшеров посетила Ривьеру и Италию. Молодой Морис был очарован пейзажами и растительностью средиземноморья. Эта любовь к природе южной Европы осталась с ним на всю жизнь. Потом он не раз возвращался в Италию.
Вовремя 1920-х и 1930-х годов Мауриц Корнелис Эшер часто совершал длительные путешествия в Италию, где находил вдохновение для своих работ. Во время своих поездок он не только делал эскизы, но и много фотографировал, которые в дальнейшем нашли своё отражение в работах художника.
Во время одного из путешествий Эшер посетил Альгамбру (Испания), где познакомился с арабским декоративным искусством. После этой поездки художник начал активно экспериментировать с изображением мозаичных изображений.
Во время пребывания в Италии, Швейцарии и Бельгии Эшер создал несколько десятков пейзажей, тщательно прорисованных и выполненных в абсолютно реалистическом стиле (см. Приложение 1). В 1939 году он также выполнил серию видов Делфта (город и община в Нидерландах, в провинции Южная Голландия, на полпути между Роттердамом и Гаагой). Но в этих пейзажах, уже просматривается необычная перспектива: виды городов даются сверху или с большого расстояния. В поздних работах Маурица Эшера эта перспектива была развита для создания оптических иллюзий (см. Приложение 2).
В период с 1950 по 1960 годы он создал свои наиболее известные картины, в том числе и с невозможными конструкциями.
Творчество Эшера раньше других оценили представители естественных наук, математики и психологи. Математики сразу признали художника «своим», хотя сам Эшер не имел специального математического образования. «Я так ни разу и не смог получить хорошей оценки по математике. Забавно, что я неожиданно оказался связанным с этой наукой. Поверьте, в школе я был очень плохим учеником. И вот теперь математики используют мои рисунки для иллюстрации своих книг. Эти ученые люди принимают меня в свою компанию как потерянного и вновь обретенного брата! Они, кажется, не подозревают, что математически я полный тупица! Более того, они уверены, что мои невозможные объекты существуют на самом деле», – изумлялся Эшер 1 .
Мозаика
В 1936 году, посещая Альгамбру (Испания), Эшер детально изучил мавританские мозаики, которые в впоследствии назвал “богатейшим источником вдохновения” (см. Приложение 3).
В геометрии под мозаикой (паркетом) понимают заполнение плоскости одинаковыми фигурами (элементами мозаики), которые не перекрывают друг друга и не оставляют на плоскости пустого пространства (иногда мозаикой называют заполнение плоскости несколькими фигурами, например, правильными многоугольниками) 2 . Обычный тетрадный лист в клеточку представляет собой простейшую геометрическую мозаику. Элементом здесь является квадрат. Элементами мозаики могут быть также равносторонний треугольник, правильный шестиугольник, произвольный параллелограмм, произвольный четырехугольник. Можно придумать сотни, тысячи разных элементов паркетов. Некоторые из них изображены на рис.1.
На рис. 2 приведен элемент простой мозаики, который разбит на рисунке справа на четыре одинаковые фигурки – элементы новой мозаики, а на рис. 3 показаны элементы новой мозаики, также состоящие из четырех таких фигурок.
На рис. 4 представлены фигуры, с помощью которых можно получить мозаику, перемещая их на некоторое расстояние и как бы вкладывая в предыдущую.
Морис Эшер придумал наиболее запоминающиеся рисунки мозаик. Элементами паркета у него служили фигуры животных, птиц, рептилий, находящиеся в определенном порядке по отношению друг к другу. На рис. 5 и 6 представлены элементы мозаики в виде фигурок животных и птиц, которыми оперировал Морис Эшер в своих знаменитых рисунках.
Морис Эшер придумал наиболее запоминающиеся рисунки мозаик. Элементами паркета у него служили фигуры животных, птиц, рептилий, находящиеся в определенном порядке по отношению друг к другу. На рис. 5 представлены элементы мозаики в виде фигурок животных и птиц, которыми оперировал Морис Эшер в своих знаменитых рисунках 3 .
Мозаики, подобные приведенным, универсальны по применению. Одним из факторов популярности мозаик Эшера является их способность заставлять зрителя погружаться в изучение подробностей рисунка – от мелких деталей к крупным, от восприятия в целом к сосредоточению на одном элементе.
По мнению психологов, разглядывание мозаик – отличный способ расслабления и отдыха.
Метаморфозы
Одним из самых выдающихся аспектов творчества Эшера является изображение «метаморфоз», фигурирующих в разных формах во множестве работ.
Метаморфоза (греч. metamorphosis) – это превращение, переход из одной формы в другую с приобретением нового внешнего вида. 4
Художник подробно исследует постепенность перехода от одной геометрической фигуры к другой, посредством незначительных изменений в очертаниях. Эшер неоднократно рисовал метаморфозы, происходящие с живыми существами и даже «одушевлял» в ходе метаморфоз неодушевлённые предметы, превращая их в живых существ.
“Небо и вода” – так называется одно из произведений художника. На рисунке два основных объекта: это существа, обитающие в небе и воде — птица и рыба. При движении по рисунку снизу-вверх, накапливаются несущественные, едва различимые отличия у сходных объектов. Это приводит к новому объекту, совершенно не похожему на исходный.
Произведение «День и ночь» является одной из самых известных работ художника. Эта работа отражает перетекание одного в другое: одна стая птиц перетекает в другую, геометрические формы не позволяют определить четкие границы изображения. Сочетание черного и белого отражает две противоположности. Черный цвет удивительным образом преобразуется в белый и наоборот. Изображение выполнено таким образом, что кажется объемным. 5
Главной же жемчужиной музея является 7-метровая работа Эшера – «Метаморфозы». Эта гравюра позволяет испытать связь между вечностью и бесконечностью, где время и пространство объединяются в единое целое.
Искусство имп-арт
«Рисовать – значит обманывать» – говорил Эшер.Ведь любая картина в сущности представляет собой набор линий и цветовых пятен, расположенных на плоскости! От художника требуется определённое мастерство, чтобы убедить зрителя в наличии объёма, перспективы, создать иллюзию пространства в своём произведении. 6
Самостоятельным направлением невозможного искусства является направление имп-арт.
Имп-арт (англ. impossible art) — невозможное искусство. Его целью является изображение невозможных фигур и объектов. 7 Как правило, их называют так, потому что они не могут существовать в реальном мире. Более точно, невозможными фигурами называют геометрические объекты, нарисованные на бумаге, которые производят впечатление обычной проекции трехмерного объекта, однако, при внимательном рассмотрении становятся видны противоречия в соединениях элементов фигуры 8 . Парадокс невозможных фигур основан на том, что наш мозг всегда пытается представить нарисованные на бумаге двухмерные рисунки как трехмерные. Именно М.К.Эшеру невозможные фигуры обязаны своей популярностью и известностью в творческой среде.
Наиболее известными невозможными фигурами являются: невозможный треугольник куб («куб Эшера»), бесконечная лестница и невозможный трезубец. 9
Невозможный треугольник – одна из самых простых фигур, каждая часть которой в действительности существует по отдельности, но их комбинация в трехмерном пространстве невозможна. Восприятие всей фигуры как композиции неправильных соединений между ее реальными частями ведет к обманчивому эффекту невозможной структуры. По существу, взгляд пытается восстановить реальную трехмерную структуру, но наталкивается на несоответствие.
Источники:
http://daily.afisha.ru/archive/vozduh/art/ot-fraktala-do-rekursii-kratkiy-kurs-po-miru-mkeshera/
http://im-possible.info/russian/articles/escher_math/escher_math.html
http://school-science.ru/5/7/35389
