Теорема косинусов для прямоугольника. Как формулируется и доказывается теорема косинусов

Как формулируется и доказывается теорема косинусов?

Не все школьники, а тем более взрослые, знают, что теорема косинусов напрямую связана с теоремой Пифагора. Точнее сказать, последняя является частным случаем первой. Этот момент, а также два способа доказательства теоремы косинусов помогут стать более знающим человеком. К тому же практика в выражении величин из исходных выражений хорошо развивает логическое мышление. Длинная формула изучаемой теоремы обязательно заставит потрудиться и посовершенствоваться.

Начало разговора: введение обозначений

Эта теорема формулируется и доказывается для произвольного треугольника. Поэтому ею можно воспользоваться всегда, в любой ситуации, если даны две стороны, а в некоторых случаях три, и угол, причем необязательно между ними. Каким бы ни был вид треугольника, теорема сработает всегда.

А теперь про обозначение величин во всех выражениях. Лучше сразу договориться, чтобы потом несколько раз не пояснять. Для этого составлена следующая таблица.

Формулировка и математическая запись

Итак, формулируется теорема косинусов следующим образом:

Квадрат стороны любого треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих же сторон на косинус угла, лежащего между ними.

Конечно, оно длинное, но если понять его суть, то запомнить будет просто. Можно даже представлять себе чертеж треугольника. Наглядно всегда проще запоминать.

Формула же этой теоремы будет выглядеть так:

а 2 = в 2 + с 2 – 2 * в * с * cos А.

Немного длинно, но все логично. Если немного внимательнее посмотреть, то можно увидеть, что буквы повторяются, значит, и запомнить ее несложно.

Распространенное доказательство теоремы

Поскольку она справедлива для всех треугольников, то можно выбрать для рассуждений любой из видов. Пусть это будет фигура со всеми острыми углами. Рассмотрим произвольный остроугольный треугольник, у которого угол С больше, чем угол В. Из вершины с этим большим углом нужно опустить перпендикуляр на противоположную сторону. Проведенная высота разделит треугольник на два прямоугольных. Это потребуется для доказательства.

Сторона окажется разделенной на два отрезка: х, у. Их нужно выразить через известные величины. Та часть, которая окажется в треугольнике с гипотенузой, равной в, выразится через запись:

Другая будет равна такой разности:

Теперь нужно записать теорему Пифагора для двух получившихся в результате построения прямоугольных треугольников, принимая за неизвестную величину высоту. Эти формулы будут выглядеть так:

н 2 = в 2 – (в * cos А) 2 ,

н 2 = а 2 – (с – в * cos А) 2 .

В этих равенствах стоят одинаковые выражения слева. Значит, их правые части тоже будут равны. Это просто записать. Теперь нужно раскрыть скобки:

в 2 – в 2 * (cos А) 2 = а 2 – с 2 + 2 с * в * cos А – в 2 * (cos А ) 2 .

Если здесь выполнить перенос и приведение подобных слагаемых, то получится начальная формула, которая записана после формулировки, то есть теорема косинусов. Доказательство закончено.

Доказательство теоремы через векторы

Оно гораздо короче предыдущего. И если знать свойства векторов, то теорема косинусов для треугольника будет доказана просто.

Если стороны а, в, с обозначить соответственно векторами ВС, АС и АВ, то справедливо равенство:

Теперь нужно выполнить некоторые действия. Первое из них — это возведение в квадрат обеих частей равенства:

ВС 2 = АС 2 + АВ 2 – 2 АС * АВ.

Потом равенство нужно переписать в скалярном виде, учитывая то, что произведение векторов равно косинусу угла между ними на их скалярные значения:

ВС 2 = АС 2 + АВ 2 – 2 АС * АВ * cos А.

Осталось только вернуться к старым обозначениям, и снова получится теорема косинусов:

а 2 = в 2 + с 2 – 2 * в * с * cos А.

Формулы для других сторон и всех углов

Чтобы найти сторону, из теоремы косинусов нужно извлечь квадратный корень. Формула для квадратов одной из других сторон будет выглядеть так:

с 2 = а 2 + в 2 – 2 * а * в * cos C.

Чтобы записать выражение для квадрата стороны в, нужно в предыдущем равенстве заменить с на в, и наоборот, и под косинусом поставить угол В.

Из основной формулы теоремы можно выразить значение косинуса угла А:

cos А = (в 2 + с 2 – а 2 ) / (2 в * с).

Аналогично выводятся формулы для других углов. Это хорошая практика, поэтому можно попробовать написать их самостоятельно.

Естественно, что запоминать эти формулы нет необходимости. Достаточно понимания теоремы и умения вывести эти выражения из ее основной записи.

Исходная формула теоремы дает возможность найти сторону, если угол лежит не между двумя известными. К примеру, нужно найти в, когда даны величины: а, с, А. Или неизвестна с, зато есть значения а, в, А.

В этой ситуации нужно перенести все слагаемые формулы в левую сторону. Получится такое равенство:

с 2 – 2 * в * с * cos А + в 2 – а 2 = 0.

Перепишем его немного в другом виде:

с 2 – (2 * в * cos А) * с + (в 2 – а 2 ) = 0.

Можно легко увидеть квадратное уравнение. В нем неизвестная величина – с, а все остальные даны. Поэтому его достаточно решить с помощью дискриминанта. Так будет найдена неизвестная сторона.

Аналогично получается формула для второй стороны:

в 2 – (2 * с * cos А) * в + (с 2 – а 2 ) = 0.

Из других выражений такие формулы тоже легко получить самостоятельно.

Как без вычисления косинуса узнать вид угла?

Если внимательно посмотреть на формулу косинуса угла, выведенную ранее, то можно заметить следующее:

• знаменатель дроби – всегда положительное число, потому что в нем стоит произведение сторон, которые не могут быть отрицательными;
• значение угла будет зависеть от знака числителя.

• острым в ситуации, когда числитель больше нуля;
• тупым, если это выражение отрицательное;
• прямым при его равенстве нулю.

Кстати, последняя ситуация обращает теорему косинусов в теорему Пифагора. Потому что для угла в 90º его косинус равен нулю, и последнее слагаемое исчезает.

Первая задача

Тупой угол некоторого произвольного треугольника равен 120º. О сторонах, которыми он ограничен, известно, что одна из них больше другой на 8 см. Известна длина третьей стороны, это 28 см. Требуется найти периметр треугольника.

Сначала нужно обозначить одну из сторон буквой «х». В таком случае другая будет равна (х + 8). Поскольку есть выражения для всех трех сторон, можно воспользоваться формулой, которую дает теорема косинусов:

28 2 = (х + 8) 2 + х 2 – 2 * (х + 8) * х * cos 120º.

В таблицах для косинусов нужно найти значение, соответствующее 120 градусам. Это будет число 0,5 со знаком минус. Теперь полагается раскрыть скобки, соблюдая все правила, и привести подобные слагаемые:

784 = х 2 + 16х + 64 + х 2 – 2х * (-0,5) * (х + 8);

784 = 2х 2 + 16х + 64 + х 2 + 8х;

3х 2 + 24х – 720 = 0.

Это квадратное уравнение решается через нахождение дискриминанта, который будет равен:

Д = 24 2 – 4 * 3 * (- 720) = 9216.

Поскольку его значение больше нуля, то уравнение имеет два ответа-корня.

Последний корень не может быть ответом задачи, потому что сторона обязательно должна быть положительной.

Итак, две стороны известны. Легко найти третью: 12 + 8 = 20 (см). Теперь можно ответить на вопрос задачи. Периметр треугольника определяется как сумма всех сторон:

24 + 12 + 20 = 60 (см).

Ответ: периметр равен 60 сантиметрам.

Задача №2

В треугольнике известны: с, равное 2 см; а, которое составляет 10 см; угол С величиной 120º. Требуется найти сторону в.

Для начала нужно воспользоваться теоремой косинусов и вывести из нее формулу квадратного уравнения, в которой неизвестной будет величина в:

с 2 = а 2 + в 2 – 2 * а * в * cos C

в 2 – (2 * а * cos С) * в + (а 2 – с 2 ) = 0.

В нее нужно подставить все известные в условии величины:

в 2 – (2 * 10 * cos 120º) * в + (10 2 – 2 2 ) = 0.

Теперь нужно сосчитать то, что возможно, чтобы упростить выражение:

в 2 – (20 * (-1/2)) * в + (100 – 4) = 0

в 2 + 10 * в – 96 = 0.

Это стандартное квадратное уравнение, которое нужно решить через нахождение дискриминанта:

Д = (10) 2 – 4 * 1 * (-96) = 484.

По формулам нужно произвести вычисления для неизвестной стороны:

в₁ = (- 10 + 22) / 2 = 6 (см);

в₂ = (- 10 – 22) / 2 = – 16 — этот корень не удовлетворяет решению задачи, потому что сторона не может быть отрицательной.

Ответ: неизвестная сторона равна 6 см.

Третья задача

В некотором треугольнике даны стороны: а, в, с, которые соответственно равны 6 см, 10 см и 8 см. Требуется вычислить угол А.

Снова нужно воспользоваться теоремой косинусов. Используется та ее запись, в которой есть косинус угла А, поскольку именно его необходимо вычислить. Вот написана сразу формула для косинуса неизвестного угла:

cos А = (в 2 + с 2 – а 2 ) / (2 в * с).

Осталось подставить значения сторон и выполнить все вычисления:

cos А = (10 2 + 8 2 – 6 2 ) / (2 * 8 * 10).

После возведения всех слагаемых в квадрат и умножения чисел из знаменателя:

cos А = (100 + 64 – 36) / (160).

После сложения и деления получается:

cos А = 128 / 160 = 0,8.

Теперь нужно воспользоваться таблицей Брадиса, чтобы узнать, чему равен угол А. Ближайшее значение угла для этого косинуса составляет 36º54´.

Теорема косинусов. Визуальный гид (2020)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Что же такое теорема косинусов? Представь себе, это такая… теорема Пифагора для произвольного треугольника.

Теорема косинусов: формулировка.

Теорема косинусов гласит: квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

А теперь объясняю почему так и причем тут теорема Пифагор.

Ведь что утверждает теорема Пифагора?

А что будет, если , скажем, острый?

Вот сейчас и выясним, точнее, сперва сформулируем, а потом докажем.

Итак, для всякого (и остроугольного, и тупоугольного и даже прямоугольного!) треугольника верна теорема косинусов.

Теорема косинусов:

Теорема косинусов: доказательство.

Правда, теорема косинусов похожа на теорему Пифагора? Только с добавкой . Ну вот, давай доказывать.

1 Случай: пусть .

Итак, , то есть острый.

можно выразить из треугольника (прямоугольного!) .

Пользуемся тем, что и… всё!

2 Случай: пусть <<90>^>”> .

А теперь, внимание, отличие!

– это из , который теперь оказался снаружи , а

(читай тему «Формулы тригонометрии», если совсем забыл, почему так).

Значит, – и все! Отличие закончилось!

, – как и было, то есть:

Ну и остался последний случай.

3 Случай: пусть .

Итак, . Но тогда и теорема косинусов просто превращается в теорему Пифагора:

В каких же задачах бывает полезна теорема косинусов?

Ну, например, если у тебя даны две стороны треугольника и угол между ними, то ты прямо сразу можешь найти третью сторону.

Или, если тебе даны все три стороны, то ты тут же найдешь косинус любого угла по формуле

И даже, если тебе даны две стороны и угол НЕ между ними, то третью сторону тоже можно найти, решая квадратное уравнение. Правда, в этом случае получается иногда два ответа и нужно соображать, какой же из них выбрать, или оставить оба.

Попробуй применять и не бояться – теорема косинусов почти также легка в обращении, как и теорема Пифагора.

ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике,

А также получить доступ к учебнику YouClever без ограничений.

можно кликнув по этой ссылке.

Комментарии

Приятно оформленный сайт и хорошо изложенный материал, спасибо за ваш труд

Спасибо, большое за хорошие слова!

Спасибо! Очень доступно

Спасибо, Беслан! Очень рады.

Случай, если при C 90, т.е. H лежит вне отрезка BC, не рассмотрен(

Даниил, этот случай ничем не отличается от случая “2. ∠C>90” – просто поменяйте местами точки B и C,

Спасибо! Более понятного объяснения не видела!

Ой, Лариса, как приятно слышать! Спасибо!

Распространение материалов без согласования допустимо при наличии dofollow-ссылки на страницу-источник.

Политика конфиденциальности

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

• В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

2/3 статьи, а также разбор задач доступны только ученикам YouClever.

Или оставьте Email и получите доступ к 5-ти статьям учебника бесплатно.

Формулировка и доказательство теоремы косинусов

Формулировка теоремы косинусов

Для плоского треугольника со сторонами a,b,c и углом α, противолежащим стороне a, справедливо соотношение:

Доказательство теоремы косинусов

Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Предположим, что нам известна величина стороны AC (она равна некому числу b), величина стороны AB (она равна некому числу c) и угол между этими сторонами, величина которого равна α. Найдем величину стороны BC (обозначив ее длину через переменную a)

Для доказательства теоремы косинусов проведем дополнительные построения. Из вершины C на сторону AB опустим высоту CD.
Найдем длину стороны AB. Как видно из рисунка, в результате дополнительного построения можно сказать, что
AB = AD + BD

Найдем длину отрезка AD. Исходя из того, что треугольник ADC является прямоугольным, нам известны длина его гипотенузы ( b ) и угол ( α ) то величину стороны AD можно найти из соотношения его сторон, пользуясь свойствами тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике:

AD / AC = cos α
откуда
AD = AC cos α
AD = b cos α

Длину стороны BD найдем как разность AB и AD:
BD = AB – AD
BD = c − b cos α

Теперь запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:
для треугольника BDC
CD 2 + BD 2 = BC 2
для треугольника ADC
CD 2 + AD 2 = AC 2

Обратим внимание на то, что оба треугольника имеют общую сторону – CD. Определим ее длину для каждого треугольника – вынесем ее значение в левую часть выражения, а остальное – в правую.
CD 2 = BC 2 – BD 2
CD 2 = AC 2 – AD 2

Поскольку левые части уравнений (квадрат стороны CD) равны, то приравняем правые части уравнений:
BC 2 – BD 2 = AC 2 – AD 2

Исходя из сделанных ранее вычислений, мы уже знаем что:
AD = b cos α
BD = c − b cos α
AC = b (по условию)

А значение стороны BC обозначим как a.
BC = a
(Именно его нам и нужно найти)

BC 2 – BD 2 = AC 2 – AD 2
Заменим буквенные обозначения сторон на результаты наших вычислений
a 2 – ( c − b cos α ) 2 = b 2 – ( b cos α ) 2
перенесем неизвестное значение (а) на левую сторону, а остальные части уравнения – на правую
a 2 = ( c − b cos α ) 2 + b 2 – ( b cos α ) 2
раскроем скобки
a 2 = b 2 + c 2 – 2c b cos α + ( b cos α ) 2 – ( b cos α ) 2
получаем
a 2 = b 2 + c 2 – 2bc cos α

Теорема косинусов доказана.

Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному.

Источники:

http://www.syl.ru/article/178359/mod_kak-formuliruetsya-i-dokazyivaetsya-teorema-kosinusov
http://youclever.org/book/teorema-kosinusov-2
http://profmeter.com.ua/communication/learning/course/course7/lesson357/