“преобразование фигур и применение его на практике”. Большая энциклопедия нефти и газа
“преобразование фигур и применение его на практике”. Геометрические преобразования
В школьном курсе геометрии с помощью темы: «Преобразования фигур» решаются только математические задачи. К сожалению, вопрос о практическом применении не рассматривается. В связи с этим, цель исследовательской работы – выявить области практического применения преобразования фигур.
Для достижения цели необходимо решить следующие задачи :
изучить научно-популярную литературу по теме исследования;
изучить сведения о теме: Преобразование фигур;
собрать информацию о практическом применении преобразования фигур.
показать применение темы при решении экзаменационных задач;
показать практическое применение преобразования фигур при строительстве объектов МБОУ Шпалозаводская СОШ;
обработать собранные данные по теме.
Гипотеза: С помощь преобразования фигур можно решать не только математические задачи, но и успешно применять преобразования в практической деятельности.
Актуальность исследования: В настоящее время всеобщее признание получило то, что успех развития многих областей науки и техники зависит от развития различных направлений математики. Важным условием повышения эффективности производства является широкое внедрение математических методов в технику и народное хозяйство, что предполагает создание новых, эффективных методов качественного и количественного исследования, которые позволяют решать задачи, выдвигаемые практикой.
Научная новизна данной работы обусловлена тем, что в научный оборот введён обширный и малоизвестный материал.
Теоретической базой исследования сталитруды по изучению и использованию преобразования фигур: «Числа и фигуры» Радемахера Г., «Материал для внеклассной работы» Шустера Ф.М., «Симметрия – владычица стихов» Портера Л.Г., «Снежинки» Гончара В.
теоретический анализ литературы;
метод практических работ.
Предмет исследования: преобразование фигур.
Объект исследования: практическое применение преобразования фигур.
Практическая значимость исследования: материал исследования может быть использован на дополнительных занятиях по математике и в классах углубленного изучения; при проектировании дизайна школьного двора, пришкольного участка; в архитектуре, строительстве.
Базой исследования является: МБОУ Шпалозаводская средняя общеобразовательная школа с. Новоильинск Заиграевского района Республики Бурятия.
Были выделены этапы :
Поиск и сбор информации;
Решение экзаменационных задач;
Решение практических задач по применению темы преобразования фигур;
Мы занимались поиском и сбором информации – изучали печатный материал, работали в сети Интернет, обрабатывали собранные данные. Решали экзаменационные и практические задачи по применению преобразования фигур. Провели анкетирование учащихся, учителей, родителей и обработали результаты. Было опрошено 50 учащихся 8-11 классов, 23 учителя и 27 родителей учащихся 9 класса.
Для своего исследования вначале изучили вопрос о преобразовании фигур пошкольным учебникам «Геометрия 7-9» Атанасяна Л.С. и Руденко В.Н., а также по учебнику Погорелова А.В. «Геометрия 7-11». Рассмотрели в данных учебниках задачи преобразования фигур. В Интернете мы ознакомилисьс практическим применением и экзаменационными задачами. Вопрос о практическом применении преобразования фигур в школьном учебнике геометрии Атанасяна Л.С., по которомузанимаемся, не освещен. Упоминается лишь немного о теоремах и о подобии треугольников. Это же упоминается и в учебнике геометрии Погорелова А.В. А вот в учебнике геометрии Руденко В.Н. по практическому применению теоремы решаются некоторые интересные задачи, хотя вопрос можно сказать, также не освещен.
Исследовав литературные источники, мы не нашли в них вопроса о практическом применении преобразования фигур. Поэтому самостоятельно изучить этот вопрос нам удалось только в Интернете, где мы и выяснили некоторые области их применения.
Нас заинтересовал дизайн пришкольного участка с точки зрения применения преобразования фигур, и мы решили провести исследования по проектированию школьного двора, рассмотрели вопрос о строительстве грядок и цветника на пришкольном участке МБОУ Шпалозаводская СОШ.
В заключении даны выводы о проделанной работе.
Библиография состоит из 10 источников и содержит информацию о той литературе, которая использовалась в исследовании, а также рекомендуемая литература по данной работе.
2.1 Преобразование фигур и его виды.
Преобразование – смещение каждой точки данной фигуры каким-нибудь образом, и получение новой фигуры.
Гомотетия – простейшее преобразование относительно центра O с коэффициентом гомотетии k. Это преобразование, которое переводит произвольную точку X” луча OX, такую, что OX” = k*OX. (Приложение №1)
Преобразованием гомотетии переводит любую плоскость, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную плоскость (или в себя при k=1).
Доказательство: Действительно, пусть O – центр гомотетии и ± – любая плоскость, не проходящая через точку O. Возьмем любую прямую AB в плоскости ±. Преобразование гомотетии переводит точку A в точку A” на луче OA, а точку B в точку B” на луче OB, причем OA”/OA = k, OB”/OB = k, где k – коэффициент гомотетии. Отсюда следует подобие треугольников AOB и A”OB”. Из подобия треугольников следует равенство соответственных углов OAB и OA”B”, а значит, параллельность прямых AB и A”B”. Возьмем теперь другую прямую AC в плоскости ±. Она при гомотетии перейдет а параллельную прямую A”C”. При рассматриваемой гомотетии плоскость ±перейдет в плоскость ±”, проходящую через прямые A”B”, A”C”. Так как A”B”||AB и A”C”||AC, то по теореме о двух пересекающихся прямых одной плоскости соответственно параллельными с пересекающимися прямыми другой плоскости, плоскости ± и ±” параллельны, что и требовалось доказать. [ 5, 25]
Подобие – преобразование фигуры F называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз, т.е. для любых точек X и Y фигуры F и точек X”, Y” фигуры F”, в которые он переходят, X”Y” = k * XY.
1. Подобие переводит прямые в прямые, полупрямые – в полупрямые, отрезки – в отрезки.
2. Подобие сохраняет углы между полупрямыми.
3.Подобие переводит плоскости в плоскости.
4.Две фигуры называются подобными, если они переводятся одна в другую преобразованием подобия. [ 5, 23]
Движение – преобразование одной фигуры в другую, если оно сохраняет расстояние между точками, т.е. переводит любые две точки X и Y одной фигуры в точки X , Y другой фигуры так, что XY = X Y
1.Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения. Это значит, что если A, B, C, лежащие на прямой, переходят в точки A 1 ,B 1 ,C 1 . То эти точки также лежат на прямой; если точка B лежит между точками A и C, то точка B1 лежит между точками A 1 и C 1 .
Доказательство: Пусть точка B прямой AC лежит между точками A и C. Докажем, что точки A 1 ,B 1 ,C 1 лежат на одной прямой. Если точка A 1 ,B 1 ,C 1 не лежат на прямой, то они являются вершинами треугольника. Поэтому A 1 C 1
Движения. Преобразования фигур. “преобразование фигур и применение его на практике”
Малоязовская башкирская гимназия
Выполнил: ученик 10 Б класса
Проверила: Исрафилова Р.Х.
Малояз 2003 год
II. Виды преобразований
III. Виды движения
1. Симметрия относительно точки
2. Симметрия относительно прямой
3. Симметрия относительно плоскости
5. Параллельный перенос в пространстве
I. Преобразование – смещение каждой точки данной фигуры каким-нибудь образом, и получение новой фигуры.
II. Виды преобразования в пространстве: подобие, гомотетия, движение.
Подобие Преобразование фигуры F называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз, т.е. для любых точек X и Y фигуры F и точек X’, Y’ фигуры F’, в которые он переходят, X’Y’ = k * XY.
Свойства подобия: 1. Подобие переводит прямые в прямые, полупрямые – в полупрямые, отрезки – в отрезки.
2. Подобие сохраняет углы между полупрямыми
3. Подобие переводит плоскости в плоскости.
Две фигуры называются подобными, если они переводятся одна в другую преобразованием подобия.
Гомотетия – простейшее преобразование относительно центра O с коэффициентом гомотетии k. Это преобразование, которое переводит произвольную точку X’ луча OX, такую, что OX’ = k*OX.
Свойство гомотетии: 1. Преобразованием гомотетии переводит любую плоскость, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную плоскость (или в себя при k=1).
Доказательство. Действительно, пусть O – центр гомотетии и a – любая плоскость, не проходящая через точку O. Возьмем любую прямую AB в плоскости a. Преобразование гомотетии переводит точку A в точку A’ на луче OA, а точку B в точку B’ на луче OB, причем OA’/OA = k, OB’/OB = k, где k – коэффициент гомотетии. Отсюда следует подобие треугольников AOB и A’OB’. Из подобия треугольников следует равенство соответственных углов OAB и OA’B’, а значит, параллельность прямых AB и A’B’. Возьмем теперь другую прямую AC в плоскости a. Она при гомотетии перейдет а параллельную прямую A’C’. При рассматриваемой гомотетии плоскость aперейдет в плоскость a’, проходящую через прямые A’B’, A’C’. Так как A’B’||AB и A’C’||AC, то по теореме о двух пересекающихся прямых одной плоскости соответственно параллельными с пересекающимися прямыми другой плоскости, плоскости a и a’ параллельны, что и требовалось доказать.
Движением – преобразование одной фигуры в другую если оно сохраняет расстояние между точками, т.е. переводит любые две точки X и Y одной фигуры в точки X , Y другой фигуры так, что XY = X Y
Свойства движения: 1. Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения. Это значит, что если A, B, C, лежащие на прямой, переходят в точки A 1 ,B 1 ,C 1 . То эти точки также лежат на прямой; если точка B лежит между точками A и C, то точка B 1 лежит между точками A 1 и C 1.
Доказательство. Пусть точка B прямой AC лежит между точками A и C. Докажем, что точки A 1 ,B 1 ,C 1 лежат на одной прямой.
Преобразования фигур (лекция по тимом). “преобразование фигур и применение его на практике”
Малоязовская башкирская гимназия
Геометрия
Реферат
Выполнил: ученик 10 Б класса
Проверила: Исрафилова Р.Х.
Малояз 2003 год
II . Виды преобразований
1. Симметрия относительно точки
2. Симметрия относительно прямой
3. Симметрия относительно плоскости
5. Параллельный перенос в пространстве
I . Преобразование – смещение каждой точки данной фигуры каким-нибудь образом, и получение новой фигуры.
II . Виды преобразования в пространстве : подобие, гомотетия, движение.
Преобразование фигуры F называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз, т.е. для любых точек X и Y фигуры F и точек X’, Y’ фигуры F’, в которые он переходят, X’Y’ = k * XY.
Свойства подобия: 1. Подобие переводит прямые в прямые, полупрямые – в полупрямые, отрезки – в отрезки.
2. Подобие сохраняет углы между полупрямыми
3. Подобие переводит плоскости в плоскости.
Две фигуры называются подобными, если они переводятся одна в другую преобразованием подобия.
Гомотетия – простейшее преобразование относительно центра O с коэффициентом гомотетии k. Это преобразование, которое переводит произвольную точку X’ луча OX, такую, что OX’ = k*OX.
Свойство гомотетии: 1. Преобразованием гомотетии переводит любую плоскость, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную плоскость (или в себя при k =1).
Доказательство. Действительно, пусть O – центр гомотетии и a – любая плоскость, не проходящая через точку O. Возьмем любую прямую AB в плоскости a. Преобразование гомотетии переводит точку A в точку A’ на луче OA, а точку B в точку B’ на луче OB, причем OA’/OA = k, OB’/OB = k, где k – коэффициент гомотетии. Отсюда следует подобие треугольников AOB и A’OB’. Из подобия треугольников следует равенство соответственных углов OAB и OA’B’, а значит, параллельность прямых AB и A’B’. Возьмем теперь другую прямую AC в плоскости a. Она при гомотетии перейдет а параллельную прямую A’C’. При рассматриваемой гомотетии плоскость aперейдет в плоскость a’, проходящую через прямые A’B’, A’C’. Так как A’B’||AB и A’C’||AC, то по теореме о двух пересекающихся прямых одной плоскости соответственно параллельными с пересекающимися прямыми другой плоскости, плоскости a и a’ параллельны, что и требовалось доказать.
Движением – преобразование одной фигуры в другую если оно сохраняет расстояние между точками, т.е. переводит любые две точки X и Y одной фигуры в точки X , Y другой фигуры так, что XY = XY
Свойства движения: 1. Точки, лежащие на прямой, при движении переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения. Это значит, что если A, B, C, лежащие на прямой, переходят в точки A 1 ,B 1 ,C 1 . То эти точки также лежат на прямой; если точка B лежит между точками A и C, то точка B 1 лежит между точками A 1 и C 1.
Доказательство. Пусть точка B прямой AC лежит между точками A и C. Докажем, что точки A 1 ,B 1 ,C 1 лежат на одной прямой.
Если точка A 1 ,B 1 ,C 1 не лежат на прямой, то они являются вершинами треугольника. Поэтому A 1 C 1
Источники:
http://sharanavti.ru/preobrazovanie-figur-i-primenenie-ego-na-praktike-geometricheskie/
http://certy.ru/dvizheniya-preobrazovaniya-figur-preobrazovanie-figur-i-primenenie-ego-na.html
http://www.qiks.ru/osteomyelitis-and-osteoporosis/preobrazovaniya-figur-lekciya-po-timom-preobrazovanie-figur-i/
