Найти значение скалярного произведения векторов. Примеры задач на вычисление скалярного произведения векторов примеры вычисления скалярного произведения векторов для плоских задач

Найти значение скалярного произведения векторов. Примеры задач на вычисление скалярного произведения векторов примеры вычисления скалярного произведения векторов для плоских задач

Найти скалярное произведение векторов a = <1; 2; -5>и b = <4; 8; 1>.

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 – 5 = 15.

Пример вычисления скалярного произведения для n -мерных векторов

Найти скалярное произведение векторов a = <1; 2; -5; 2>и b = <4; 8; 1; -2>.

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 – 5 -4 = 11.

Векторний добуток векторів, властивості. Геометричний та фізичний зміст. Обчислення векторного добутку за відомими координатами векторів-множників.

Векторное произведение векторов и его свойства

Вектор называется векторным произведением неколлинеарных векторов и , если:

1) его длина равна произведению длин векторов и на синус угла между ними: (рис.1.42);

2) вектор ортогонален векторам и ;

3) векторы , , (в указанном порядке) образуют правую тройку.

Векторное произведение коллинеарных векторов (в частности, если хотя бы один из множителей — нулевой вектор) считается равным нулевому вектору.

Векторное произведение обозначается (или ).

Алгебраические свойства векторного произведения

Для любых векторов , , и любого действительного числа :

1. ;

3. .

Первое свойство определяет антисимметричность векторного произведения, второе и третье — аддитивность и однородность по первому множителю. Эти свойства аналогичны свойствам произведения чисел: первое свойство “противоположно” закону коммутативности умножения чисел (закон антикоммутативности), второе свойство соответствует закону дистрибутивности умножения чисел по отношению к сложению, третье — закону ассоциативности умножения. Поэтому рассматриваемая операция и называется произведением векторов. Поскольку ее результатом является вектор, то такое произведение векторов называется векторным.

Докажем первое свойство, предполагая, что векторы и не коллинеарны (в противном случае обе части доказываемого равенства равны нулевому вектору). По определению векторы и имеют равные длины и коллинеарны (так как оба вектора перпендикулярны одной плоскости). По определению тройки векторов и — правые, т.е. вектор направлен так, что кратчайший поворот от к происходит в положительном направлении (против часовой стрелки), если смотреть из конца вектора , а вектор направлен так, что кратчайший поворот от к происходит в положительном направлении, если смотреть из конца вектора (рис. 1.43). Это означает, что векторы и противоположно направлены. Следовательно, , что и требовалось доказать. Доказательство остальных свойств приведено ниже (см. пункт 1 замечаний 1.13).

1. Свойства аддитивности и однородности векторного произведения означают линейность векторного произведения по первому множителю:

для любых векторов и любых действительных чисел и .

2. В силу антисимметричности векторное произведение линейно и по второму множителю, т.е. линейно по любому множителю.

Скалярное произведение векторов

Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами

Формула скалярного произведения векторов для плоских задач

В случае плоской задачи скалярное произведение векторов a = < a_x ; a_y > и b = < b_x ; b_y > можно найти воспользовавшись следующей формулой:

Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач

В случае пространственной задачи скалярное произведение векторов a = < a_x ; a_y ; a_z > и b = < b_x ; b_y ; b_z > можно найти воспользовавшись следующей формулой:

Формула скалярного произведения n -мерных векторов

В случае n -мерного пространства скалярное произведение векторов a = < a ₁ ; a ₂ ; . ; a_n > и b = < b ₁ ; b ₂ ; . ; b_n > можно найти воспользовавшись следующей формулой:

Свойства скалярного произведения векторов

Примеры задач на вычисление скалярного произведения векторов

Примеры вычисления скалярного произведения векторов для плоских задач

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.

Решение: a · b = | a | · | b | cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.

p · q = ( a + 3 b ) · (5 a – 3 b ) = 5 a · a – 3 a · b + 15 b · a – 9 b · b =

= 5 | a | 2 + 12 a · b – 9 | b | 2 = 5 · 3 2 + 12 · 3 · 2 · cos 60˚ – 9 · 2 2 = 45 +36 -36 = 45.

Решение: Запишем вектора a и b через ортонормированные базисные вектора i и j :

Тогда используя свойства ортов ( i 2 = 1, j 2 = 1, i · j = 0)

( a + 2 i )·( b – 2 j ) = ( i + 2 j + 2 i )·(4 i – 8 j – 2 j ) = (3 i + 2 j )·(4 i – 10 j ) = 12 i 2 – 30 i · j + 12 j · i – 20 j 2 = 12 – 0 + 0 – 20 = -8

Пример вычисления скалярного произведения векторов для пространственных задач

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 – 5 = 15.

Пример вычисления скалярного произведения для n -мерных векторов

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 – 5 -4 = 11.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Скалярное произведение векторов: свойства, примеры вычисления, физический смысл

Скалярное произведение векторов называют число, равное произведению дин этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначение произведения векторов a → и b → имеет вид a → , b → . Преобразуем в формулу:

a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ . a → и b → обозначают длины векторов, a → , b → ^ – обозначение угла между заданными векторами. Если хоть один вектор нулевой, то есть имеет значение 0, то и результат будет равен нулю, a → , b → = 0

При умножении вектора самого на себя, получим квадрат его дины:

a → , b → = a → · b → · cos a → , a → ^ = a → 2 · cos 0 = a → 2

Скалярное умножение вектора самого на себя называют скалярным квадратом.

Вычисляется по формуле:

a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

Запись a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → показывает, что n p b → a → – это числовая проекция a → на b → , n p a → a → – проекция b → на a → соостветсвенно.

Сформулируем определение произведения для двух векторов:

Скалярное произведение двух векторов a → на b → называют произведение длины вектора a → на проекцию b → на направление a → или произведение длины b → на проекцию a → соответственно.

Скалярное произведение в координатах

Вычисление скалярного произведения можно производить через координаты векторов в заданной плоскости или в пространстве.

Скаларное произведение двух векторов на плоскости, в трехмерном простарнстве называют сумму координат заданных векторов a → и b → .

При вычислении на плоскости скаларного произведения заданных векторов a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) в декартовой системе используют:

a → , b → = a x · b x + a y · b y ,

для трехмерного пространства применимо выражение:

a → , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z .

Фактически это является третьим определением скалярного произведения.

Для доказательства используем a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y для векторов a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) на декартовой системе.

Следует отложить векторы

O A → = a → = a x , a y и O B → = b → = b x , b y .

Тогда длина вектора A B → будет равна A B → = O B → – O A → = b → – a → = ( b x – a x , b y – a y ) .

Рассмотрим треугольник O A B .

A B 2 = O A 2 + O B 2 – 2 · O A · O B · cos ( ∠ A O B ) верно , исходя из теоремы косинусов.

По условию видно, что O A = a → , O B = b → , A B = b → – a → , ∠ A O B = a → , b → ^ , значит, формулу нахождения угла между векторами запишем иначе

b → – a → 2 = a → 2 + b → 2 – 2 · a → · b → · cos ( a → , b → ^ ) .

Тогда из первого определения следует, что b → – a → 2 = a → 2 + b → 2 – 2 · ( a → , b → ) , значит ( a → , b → ) = 1 2 · ( a → 2 + b → 2 – b → – a → 2 ) .

Применив формулу вычисления длины векторов, получим:
a → , b → = 1 2 · ( ( a 2 x + a y 2 ) 2 + ( b 2 x + b y 2 ) 2 – ( ( b x – a x ) 2 + ( b y – a y ) 2 ) 2 ) = = 1 2 · ( a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y – ( b x – a x ) 2 – ( b y – a y ) 2 ) = = a x · b x + a y · b y

( a → , b → ) = a → · b → · cos ( a → , b → ^ ) = = a x · b x + a y · b y + a z · b z

– соответственно для векторов трехмерного пространства.

Скалярное произведение векторов с координатами говорит о том, что скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов его координат в пространстве и на плоскости соответственно. a → = ( a x , a y , a z ) , b → = ( b x , b y , b z ) и ( a → , a → ) = a x 2 + a y 2 .

Скалярное произведение и его свойства

Существуют свойства скалярного произведения, которые применимы для a → , b → и c → :

1. коммутативность ( a → , b → ) = ( b → , a → ) ;
2. дистрибутивность ( a → + b → , c → ) = ( a → , c → ) + ( b → , c → ) , ( a → + b → , c → ) = ( a → , b → ) + ( a → , c → ) ;
3. сочетательное свойство ( λ · a → , b → ) = λ · ( a → , b → ) , ( a → , λ · b → ) = λ · ( a → , b → ) , λ – любое число;
4. скалярный квадрат всегда больше нуля ( a → , a → ) ≥ 0 , где ( a → , a → ) = 0 в том случае, когда a → нулевой.

Пример 1

Свойства объяснимы благодаря определению скалярного произведения на плоскости и свойствам при сложении и умножении действительных чисел.

Доказать свойство коммутативности ( a → , b → ) = ( b → , a → ) . Из определения имеем, что ( a → , b → ) = a y · b y + a y · b y и ( b → , a → ) = b x · a x + b y · a y .

По свойству коммутативности равенства a x · b x = b x · a x и a y · b y = b y · a y верны, значит a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y .

Отсюда следует, что ( a → , b → ) = ( b → , a → ) . Что и требовалось доказать.

Дистрибутивность справедлива для любых чисел:

( a ( 1 ) → + a ( 2 ) → + . . . + a ( n ) → , b → ) = ( a ( 1 ) → , b → ) + ( a ( 2 ) → , b → ) + . . . + ( a ( n ) → , b → )

и ( a → , b ( 1 ) → + b ( 2 ) → + . . . + b ( n ) → ) = ( a → , b ( 1 ) → ) + ( a → , b ( 2 ) → ) + . . . + ( a → , b → ( n ) ) ,

( a ( 1 ) → + a ( 2 ) → + . . . + a ( n ) → , b ( 1 ) → + b ( 2 ) → + . . . + b ( m ) → ) = = ( a ( 1 ) → , b ( 1 ) → ) + ( a ( 1 ) → , b ( 2 ) → ) + . . . + ( a ( 1 ) → , b ( m ) → ) + + ( a ( 2 ) → , b ( 1 ) → ) + ( a ( 2 ) → , b ( 2 ) → ) + . . . + ( a ( 2 ) → , b ( m ) → ) + . . . + + ( a ( n ) → , b ( 1 ) → ) + ( a ( n ) → , b ( 2 ) → ) + . . . + ( a ( n ) → , b ( m ) → )

Скалярное произведение с примерами и решениями

Любая задача такого плана решается с применением свойств и формул, касающихся скалярного произведения:

1. ( a → , b → ) = a → · b → · cos ( a → , b → ^ ) ;
2. ( a → , b → ) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ;
3. ( a → , b → ) = a x · b x + a y · b y или ( a → , b → ) = a x · b x + a y · b y + a z · b z ;
4. ( a → , a → ) = a → 2 .

Рассмотрим некоторые примеры решения.

Длина a → равна 3, длина b → равна 7. Найти скалярное произведение, если угол имеет 60 градусов.

По условию имеем все данные, поэтому вычисляем по формуле:

( a → , b → ) = a → · b → · cos ( a → , b → ^ ) = 3 · 7 · cos 60 ° = 3 · 7 · 1 2 = 21 2

Ответ: ( a → , b → ) = 21 2 .

Заданны векторы a → = ( 1 , – 1 , 2 – 3 ) , b → = ( 0 , 2 , 2 + 3 ) . Чему равно скалярной произведение.

В данном примере рассматривается формула вычисления по координатам, так как они заданы в условии задачи:

( a → , b → ) = a x · b x + a y · b y + a z · b z = = 1 · 0 + ( – 1 ) · 2 + ( 2 + 3 ) · ( 2 + 3 ) = = 0 – 2 + ( 2 – 9 ) = – 9

Ответ: ( a → , b → ) = – 9

Найти скалярное произведение A B → и A C → . На координатной плоскости заданы точки A ( 1 , – 3 ) , B ( 5 , 4 ) , C ( 1 , 1 ) .

Для начала вычисляются координаты векторов, так как по условию даны координаты точек:

A B → = ( 5 – 1 , 4 – ( – 3 ) ) = ( 4 , 7 ) A C → = ( 1 – 1 , 1 – ( – 3 ) ) = ( 0 , 4 )

Подставив в формулу с использованием координат, получим:

( A B → , A C → ) = 4 · 0 + 7 · 4 = 0 + 28 = 28 .

Ответ: ( A B → , A C → ) = 28 .

Заданы векторы a → = 7 · m → + 3 · n → и b → = 5 · m → + 8 · n → , найти их произведение. m → равен 3 и n → равен 2 единицам, они перпендикулярные.

( a → , b → ) = ( 7 · m → + 3 · n → , 5 · m → + 8 · n → ) . Применив свойство дистрибутивности, получим:

( 7 · m → + 3 · n → , 5 · m → + 8 · n → ) = = ( 7 · m → , 5 · m → ) + ( 7 · m → , 8 · n → ) + ( 3 · n → , 5 · m → ) + ( 3 · n → , 8 · n → )

Выносим коэффициент за знак произведения и получим:

( 7 · m → , 5 · m → ) + ( 7 · m → , 8 · n → ) + ( 3 · n → , 5 · m → ) + ( 3 · n → , 8 · n → ) = = 7 · 5 · ( m → , m → ) + 7 · 8 · ( m → , n → ) + 3 · 5 · ( n → , m → ) + 3 · 8 · ( n → , n → ) = = 35 · ( m → , m → ) + 56 · ( m → , n → ) + 15 · ( n → , m → ) + 24 · ( n → , n → )

По свойству коммутативности преобразуем:

35 · ( m → , m → ) + 56 · ( m → , n → ) + 15 · ( n → , m → ) + 24 · ( n → , n → ) = = 35 · ( m → , m → ) + 56 · ( m → , n → ) + 15 · ( m → , n → ) + 24 · ( n → , n → ) = = 35 · ( m → , m → ) + 71 · ( m → , n → ) + 24 · ( n → , n → )

В итоге получим:

( a → , b → ) = 35 · ( m → , m → ) + 71 · ( m → , n → ) + 24 · ( n → , n → ) .

Теперь применим формулу для скалярного произведения с заданным по условию углом:

( a → , b → ) = 35 · ( m → , m → ) + 71 · ( m → , n → ) + 24 · ( n → , n → ) = = 35 · m → 2 + 71 · m → · n → · cos ( m → , n → ^ ) + 24 · n → 2 = = 35 · 3 2 + 71 · 3 · 2 · cos π 2 + 24 · 2 2 = 411 .

Ответ: ( a → , b → ) = 411

Если имеется числовая проекция.

Найти скалярное произведение a → и b → . Вектор a → имеет координаты a → = ( 9 , 3 , – 3 ) , проекция b → с координатами ( – 3 , – 1 , 1 ) .

По условию векторы a → и проекция b → противоположно направленные, потому что a → = – 1 3 · n p a → b → → , значит проекция b → соответствует длине n p a → b → → , при чем со знаком «-»:

n p a → b → → = – n p a → b → → = – ( – 3 ) 2 + ( – 1 ) 2 + 1 2 = – 11 ,

Подставив в формулу, получим выражение:

( a → , b → ) = a → · n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + ( – 3 ) 2 · ( – 11 ) = – 33 .

Ответ: ( a → , b → ) = – 33 .

Задачи при известном скалярном произведении, где необходимо отыскать длину вектора или числовую проекцию.

Какое значение должна принять λ при заданном скалярном произведении a → = ( 1 , 0 , λ + 1 ) и b → = ( λ , 1 , λ ) будет равным -1.

Из формулы видно, что необходимо найти сумму произведений координат:

( a → , b → ) = 1 · λ + 0 · 1 + ( λ + 1 ) · λ = λ 2 + 2 · λ .

В дано имеем ( a → , b → ) = – 1 .

Чтобы найти λ , вычисляем уравнение:

λ 2 + 2 · λ = – 1 , отсюда λ = – 1 .

Физический смысл скалярного произведения

Механика рассматривает приложение скалярного произведения.

При работе А с постоянной силой F → перемещаемое тело из точки M в N можно найти произведение длин векторов F → и M N → с косинусом угла между ними, значит работа равна произведению векторов силы и перемещения:

Перемещение материальной точки на 3 метра под действием силы равной 5 ньтонов направлено под углом 45 градусов относительно оси. Найти A .

Так как работа – это произведение вектора силы на перемещение, значит, исходя из условия F → = 5 , S → = 3 , ( F → , S → ^ ) = 45 ° , получим A = ( F → , S → ) = F → · S → · cos ( F → , S → ^ ) = 5 · 3 · cos ( 45 ° ) = 15 2 2 .

Ответ: A = 15 2 2 .

Материальная точка, перемещаясь из M ( 2 , – 1 , – 3 ) в N ( 5 , 3 λ – 2 , 4 ) под силой F → = ( 3 , 1 , 2 ) , совершила работа равную 13 Дж. Вычислить длину перемещения.

При заданных координатах вектора M N → имеем M N → = ( 5 – 2 , 3 λ – 2 – ( – 1 ) , 4 – ( – 3 ) ) = ( 3 , 3 λ – 1 , 7 ) .

По формуле нахождения работы с векторами F → = ( 3 , 1 , 2 ) и M N → = ( 3 , 3 λ – 1 , 7 ) получим A = ( F ⇒ , M N → ) = 3 · 3 + 1 · ( 3 λ – 1 ) + 2 · 7 = 22 + 3 λ .

По условию дано, что A = 13 Д ж , значит 22 + 3 λ = 13 . Отсюда следует λ = – 3 , значит и M N → = ( 3 , 3 λ – 1 , 7 ) = ( 3 , – 10 , 7 ) .

Чтобы найти длину перемещения M N → , применим формулу и подставим значения:

Источники:

http://studfile.net/preview/4031368/page:20/
http://ru.onlinemschool.com/math/library/vector/multiply/
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/skaljarnoe-proizvedenie-vektorov/